Родился и умер в Москве. Первый русский, избранный почетным членом Королевского общества художников-графиков Великобритании, Заслуженный художник РСФСР. В 1943 году начал заниматься в изостудии Дворца культуры Московского автозавода. В 1949 году получил диплом Московского высшего художественно-промышленного училища (бывшее Строгановское), отделение по художественной обработке металла. Основам гравюры на дереве его обучали Д.Г. Соболев, академик И.Н. Павлов (1872–1951) и профессор М.В. Маторин (1901–1975). Освоив эту технику, Калашников позднее создавал обложки музыкальных изданий, почтовые открытки, марки, занимался работой в аналогичных областях. После окончания училища Калашников стал работать художником-конструктором на Московском автозаводе, но вскоре перешёл на работу в издательство «Советский писатель» Примерно в 1957 г. он решил уйти с постоянной работы на разовые договоры с почтовым и другими ведомствами. В начале 60-х гг. он создал ошеломляющую серию абстрактных иллюстраций для коллекционного издания произведений Ф.М. Достоевского. Гравюры вызвали восхищение, но так и не были опубликованы издательством, которое посчитало их «опережающими время» А. И. Калашников создал более 1000 гравюр, включая несколько эпических тематических серий, среди которых «Сюита о Достоевском», « Война и мир », « Золотое кольцо России » (более 100 гравюр), а также 1050 экслибрисов и ряд почтовых марок, конвертов и открыток. Графические работы художника представлены в Британском музее, а также во многих музеях и картинных галереях нашей страны.